Martedì OpenAI, l’azienda californiana che sviluppa ChatGPT, ha annunciato di aver risolto uno dei “Problemi del millennio”, i sette problemi matematici particolarmente complessi per cui l’Istituto matematico Clay (CMI) ha messo in palio un premio da un milione di dollari ciascuno. Il problema in questione è quello dell’esistenza e della regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier–Stokes, e il risultato sarebbe stato ottenuto con uno dei modelli più avanzati dell’azienda, non ancora disponibile al pubblico. Secondo la ricostruzione dell’azienda, circa 10.000 agenti IA hanno lavorato in parallelo per 88 ore, producendo una dimostrazione di oltre 160 pagine, poi formalizzata nel linguaggio Lean e verificata automaticamente in altre 17 ore. Sono però stati subito sollevati dubbi sulle modalità con cui il risultato è stato raggiunto: due ricercatori accusano OpenAI di aver sostanzialmente giocato sporco, sfruttando il loro lavoro.
Cosa sono le equazioni di Navier–Stokes
Dietro un nome tecnico si nasconde qualcosa di molto concreto: il movimento dei fluidi. Le equazioni di Navier–Stokes descrivono matematicamente il comportamento di acqua, aria e persino del vapore che sale dalla moka. Furono formulate nel Diciannovesimo secolo dall’ingegnere francese Claude-Louis Navier e dal matematico e fisico irlandese George Gabriel Stokes, e servono a calcolare come variano velocità, pressione e altre grandezze di un fluido nello spazio e nel tempo, permettendo così di prevederne l’evoluzione.
Sono equazioni che funzionano molto bene e che vengono usate da tempo in tantissimi campi, dalle previsioni meteorologiche alla progettazione degli aerei. Ma proprio perché sono estremamente complesse, sui loro aspetti più teorici i risultati sono pochi: non sappiamo, per esempio, se le quantità che descrivono — velocità, pressione — restino sempre regolari, oppure se esistano situazioni in cui i loro valori cambiano all’improvviso o diventano infiniti. Il “Millennium Problem” non chiede dunque se le equazioni funzionino nella pratica, ma se, partendo da condizioni iniziali regolari in tre dimensioni, le soluzioni rimangano regolari per sempre oppure possano sviluppare una singolarità, un cosiddetto blow-up, in un tempo finito.
Perché è un Problema del millennio
Il fatto che queste equazioni fossero contemporaneamente applicate in moltissimi campi e allo stesso tempo difficilissime da analizzare valse al problema l’inclusione tra i sette Problemi del millennio, selezionati alla fine dello scorso millennio dall’Istituto matematico Clay per identificare le questioni più difficili e rilevanti su cui i matematici stavano lavorando. L’iniziativa si rifaceva a una tradizione cominciata cento anni prima, nel 1900, quando David Hilbert pubblicò la lista dei 23 problemi destinati ad avere maggiore influenza nel Ventesimo secolo. Il CMI mise in palio un milione di dollari per ciascun problema, anche se ad attirare gli sforzi dei matematici è stato soprattutto il prestigio: intorno a questi problemi sono nati interi gruppi di ricerca, che hanno prodotto risultati parziali, approcci poi scartati, ma anche nuove tecniche e teorie.
Per ora, tra i sette, è stata ufficialmente risolta solo la congettura di Poincaré, un enunciato sulle proprietà geometriche dello spazio dimostrato dal matematico russo Grigori Perelman tra il 2002 e il 2003. Il CMI riconobbe il risultato nel 2010, ma Perelman rifiutò il milione di dollari, così come aveva già rifiutato la medaglia Fields nel 2006. Anche OpenAI ha dichiarato che rifiuterà il premio in denaro se la sua dimostrazione venisse confermata, presentando il lavoro come un avanzamento scientifico e come una prova delle capacità dei propri sistemi di ricerca automatica.
Cosa dice esattamente la dimostrazione
Nella formulazione ufficiale del CMI il problema prevede quattro alternative (A, B, C, D): A e B corrispondono a una dimostrazione di regolarità globale, cioè all’assenza di blow-up; C e D alla dimostrazione che una singolarità in tempo finito può effettivamente formarsi. OpenAI sostiene di aver stabilito C e D: esisterebbero cioè condizioni in cui le equazioni sviluppano una singolarità, una situazione in cui la velocità del fluido cresce all’infinito.
Concretamente, vorrebbe dire che prendendo un po’ d’acqua inizialmente ferma e mettendola in movimento, in determinate condizioni la sua velocità potrebbe aumentare sempre di più, senza alcun limite. Nella nostra esperienza quotidiana, ovviamente, non abbiamo mai visto nulla di simile, e non lo vedremo mai: il risultato riguarda il comportamento del modello matematico, non quello di un fluido reale. Nella costruzione elaborata dagli agenti, il fluido parte da fermo e comincia a ruotare, formando un vortice che si muove a elica, accelerando e allungandosi sempre di più; pur rispettando tutti i vincoli fisici, la sua velocità può crescere senza limite.
Per questo la risoluzione del problema potrebbe non avere grandi implicazioni pratiche: non è il tipo di risultato che cambia il modo in cui usiamo le equazioni di Navier–Stokes. Le previsioni del meteo non diventeranno più accurate e non risparmieremo sul carburante degli aerei. La dimostrazione resta però molto interessante dal punto di vista matematico.
Il punto tecnico: versione “forzata” e versione “non forzata”
C’è un aspetto che ridimensiona la portata dell’annuncio. La dimostrazione di OpenAI riguarda la versione “forzata” delle equazioni, cioè un fluido sottoposto a una forza esterna liscia costruita ad hoc. I criteri con cui il CMI ha istituito il premio si riferiscono invece alla versione “non forzata”, quella senza forze esterne applicate. Anche ammettendo che la prova sia corretta, il risultato non soddisferebbe dunque di per sé i requisiti per il Millennium Prize così come sono generalmente interpretati. Il CMI, del resto, classifica ancora il problema come “non risolto”, perché la dimostrazione non è stata sottoposta a un processo di verifica da parte di scienziati indipendenti.
Le regole dell’istituto sono molto severe: una soluzione deve essere pubblicata su una sede scientifica qualificata, devono trascorrere almeno due anni dalla pubblicazione e il risultato deve ottenere un’accettazione generale nella comunità matematica internazionale prima che il CMI possa prenderlo in considerazione. Martin Bridson, presidente dell’istituto, ha accolto l’annuncio con interesse ma senza certificarlo, parlando di “una giornata entusiasmante” e sottolineando la necessità di una verifica indipendente.
Come hanno lavorato gli agenti
OpenAI sta testando i propri modelli su tutti i Problemi del millennio usando gli agenti, cioè software autonomi che operano senza supervisione umana: possono leggere articoli scientifici, eseguire codice, decidere di lavorare in gruppo, esplorare diverse strategie contemporaneamente.
Prima di affrontare Navier–Stokes, l’azienda è partita da un problema considerato più accessibile, le equazioni di Eulero, che trascurano la viscosità dei fluidi. Un centinaio di agenti ha lavorato su Eulero facendo rapidi progressi; i risultati più solidi sono stati poi inseriti nei prompt dei nuovi agenti. A quel punto sono stati attivati 10.000 agenti in competizione tra loro, coordinati da un modello interno più potente di GPT-6 Astra, e dopo 88 ore è arrivata la dimostrazione, seguita da 17 ore di formalizzazione e verifica in Lean. Nel complesso gli agenti si sarebbero scambiati milioni di messaggi, con un costo computazionale stimato in diversi milioni di dollari.
L’accusa: “hanno usato il nostro lavoro”
OpenAI è però accusata di aver basato almeno in parte la dimostrazione sul lavoro di due ricercatori che stavano usando estesamente i suoi stessi modelli per affrontare lo stesso problema. Tristan Buckmaster, professore di matematica alla New York University, sospetta che le informazioni contenute nelle sue interazioni con il chatbot di OpenAI possano essere state utilizzate per arrivare al risultato. «Alla fine, è emerso che il primo prompt era stato inviato negli ultimi giorni, dopo che le informazioni sul nostro lavoro erano arrivate a OpenAI», ha detto Buckmaster. A differenza sua, però, l’azienda ha potuto contare su una potenza di calcolo enorme.
Buckmaster lavorava da circa un anno su problemi strettamente collegati a Navier–Stokes insieme a Levent Alpöge, Junior Fellow ad Harvard e ricercatore per Anthropic, l’azienda rivale di OpenAI. I due hanno pubblicato il 7 settembre un lavoro sulle equazioni di Eulero, usando anche strumenti di intelligenza artificiale, tra cui Codex di OpenAI, e hanno detto di aver ottenuto risultati anche sul problema più generale, destinati a essere pubblicati successivamente. Nel loro racconto attribuiscono inoltre gran parte delle basi teoriche al lavoro di altri due studiosi, Diego Córdoba e Luis Martínez-Zoroa.
Secondo Buckmaster, OpenAI avrebbe anche accelerato i tempi dell’annuncio quando ha saputo che lui e il collega stavano per comunicare i propri progressi; quando i due hanno chiesto delucidazioni all’azienda, le risposte sono state evasive. Buckmaster ha inoltre riferito di telefonate molto tese con Sébastien Bubeck, responsabile della ricerca matematica di OpenAI: nel corso delle chiamate Bubeck avrebbe descritto una dimostrazione interna di circa 100 pagine sulla formazione di singolarità e prospettato due strade, pubblicare in parallelo oppure collaborare a un articolo riconoscendo il ruolo del modello di OpenAI. In quest’ultimo caso, sempre secondo Buckmaster, avrebbe chiesto di escludere Alpöge dalla firma perché dipendente di un concorrente, arrivando a domandargli «perché vorresti rovinarti la carriera?».
La difesa di OpenAI
L’azienda ha respinto le accuse. In un post sul proprio profilo ufficiale su X si legge: «Ci congratuliamo con Levent Alpöge e Tristan Buckmaster per il loro notevole lavoro matematico. Noi (i ricercatori e gli agenti) non abbiamo visto nessuno dei loro lavori attraverso alcun mezzo fino a quando non l’hanno rilasciato pubblicamente. In particolare, non sono stati accessibili dati specifici degli utenti al fine di risolvere questo problema». Il passaggio più delicato è la conclusione: «Sebbene improbabile, non possiamo escludere che dati de-identificati derivati dal loro utilizzo dei nostri prodotti abbiano contribuito a migliorare i nostri modelli. Tuttavia, le nostre dimostrazioni differiscono significativamente e persino i risultati precisi dimostrati sono diversi nel caso di Eulero (forzato vs. non forzato)».
Bubeck, in conferenza stampa e in un successivo post, ha confermato che il progetto interno è partito il 1° settembre, dopo che erano circolate voci sui progressi di Buckmaster e Alpöge, ma ha negato che qualcuno del team avesse letto il loro lavoro prima della pubblicazione: OpenAI avrebbe sviluppato autonomamente la propria strada, completando e verificando la dimostrazione con Lean il 6 settembre. Ha negato anche di aver chiesto l’esclusione di Alpöge, sostenendo di aver semplicemente osservato che sarebbe stato problematico indicare come autore di una dimostrazione realizzata per OpenAI un ricercatore dipendente di Anthropic, e ha pubblicato alcuni screenshot delle chat a sostegno della propria versione.
Una guerra accademica su priorità, credito e ruolo dell’IA
La vicenda ha rapidamente assunto i contorni di una disputa pubblica su priorità, trasparenza ed etica della ricerca con l’intelligenza artificiale. Da un lato c’è un’azienda privata con risorse computazionali enormi, capace di mobilitare migliaia di agenti e milioni di dollari di calcolo in pochi giorni; dall’altro ricercatori accademici che lavorano da mesi sullo stesso problema, usando anch’essi strumenti di IA ma con mezzi molto più limitati. Buckmaster ha definito il momento «alla Deep Blue–Kasparov», invitando la comunità a «una discussione seria e senza fretta su dove andare da qui in avanti», in un’epoca in cui i modelli possono apprendere implicitamente dalle interazioni con gli stessi ricercatori che li usano.
Il risultato, del resto, è solo l’ultimo di una serie di successi matematici raggiunti dall’IA negli ultimi mesi: a maggio ChatGPT aveva ottenuto un risultato importante su una congettura di Paul Erdős, mentre Claude, il chatbot di Anthropic, ha prima trovato un controesempio della congettura Jacobiana, cercato da quasi un secolo, e poi confermato in soli 11 giorni la dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat proposta nel 1995 da Andrew Wiles.
Dove siamo adesso
In sintesi: OpenAI ha prodotto una dimostrazione, verificata in Lean, secondo cui nella versione forzata delle equazioni di Navier–Stokes in tre dimensioni esistono condizioni iniziali regolari che portano a una singolarità in tempo finito. Se confermato, è un avanzamento matematicamente rilevante, ma non coincide con la formulazione non forzata classicamente associata al Millennium Prize. Il Clay Mathematics Institute non ha riconosciuto alcuna soluzione ufficiale e continua a elencare il problema come non risolto: servono pubblicazione su sede qualificata, i due anni di attesa e l’accettazione generale della comunità. E accanto alla verifica tecnica resta aperta la questione più scomoda, quella su chi debba ricevere il credito quando a spostare la frontiera della conoscenza sono, insieme, ricercatori umani, lavori precedenti e migliaia di agenti artificiali.
